Dos historias matemáticas
Al dividir la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro, se obtiene el indomable número pi (pi=3'14159...), un irracional (no es resultado de ninguna división entre números enteros) con infinitos decimales que no presentan jamás periodicidad alguna, y trascendente (no es solución de ninguna ecuación con coeficientes racionales). Lo que hace de él un raro y hermoso animal matemático es su capacidad para presentarse donde, por no haber rastro de circunferencias, círculos o esferas, jamás se le esperaría. Si se eligen dos números cualesquiera, la probabilidad de que sean primos entre sí (que no tengan ningún divisor común) es igual a seis dividido entre el cuadrado de pi. Si se dibujan líneas paralelas en el suelo y se deja caer un puñado de alfileres de longitud igual a la mitad de la separación entre las líneas, el porcentaje de alfileres que acaban tocando a alguna línea es proporcional a pi.
Así las cosas, a nadie puede extrañar la fascinación que el número pi ha ejercido sobre los eruditos de todos los tiempos. Uno de los problemas más enojosos que han desafiado al ingenio humano es el de la cuadratura del círculo (la construcción, con regla y compás, de un cuadrado de igual superficie que un círculo dado), que pasa por poder dibujar un segmento recto de longitud igual a pi. Son incontables los sabios que lo intentaron; numerosísimos los que creyeron haberlo conseguido; todos fracasaron, de hecho, hoy sabemos que es imposible.
Ninguno de estos buscadores de la quimera aventaja al politólogo y filósofo inglés Thomas Hobbes en cuanto a combinar un elevado pensamiento con una perfecta ignorancia matemática. Hobbes descubrió tarde las matemáticas, pues no era costumbre en el siglo XVII que éstas formaran parte del equipaje cultural de las personas, aun de las más selectamente cultivadas. En seguida experimentó una arrebatada pasión por la ciencia de Euclides. De haberse contentado con ser un buen aficionado, se habría evitado problemas, pero su monstruoso egotismo le hizo creerse señalado por el destino para los más sublimes descubrimientos.
Cerca de cumplir los 70 años se lanzó a publicar un libro titulado Sobre los cuerpos, donde aparecía un método para ¡cuadrar el círculo! tan ingenioso como incorrecto (aunque Hobbes estaba convencido de su exactitud). John Wallis, uno de los matemáticos más eminentes del momento, publicó un librillo poniendo en evidencia los errores de Hobbes, y así comenzó el más largo (más de veinte años), hilarante y estéril debate intelectual que dos espíritus elevados hayan librado. En parte por aprovechar la ocasión para socavar la autoridad de Hobbes, cuyas ideas políticas y religiosas detestaba, en parte por hacer unas risas, Wallis había entrado al trapo. Hobbes respondió a este primer encontronazo haciendo reimprimir su libro y añadiendo un opúsculo titulado Seis lecciones para profesores de matemáticas... (será menester que me disculpen por no reproducir completos los interminables títulos de aquellas obras del siglo XVII). Wallis contestó con Castigo escolar al señor Hobbes por no impartir debidamente sus lecciones. Hobbes contraatacó con Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje zafio, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis. Wallis no se acobardó y escribió: Hobbiani Puncto Dispunctio! o la refutación punto por punto al señor Hobbes. Obcecado hasta la perdición, Hobbes llegó a publicar (si bien anónimamente, quizás empezaba a olerse la verdad) un absurdo método para resolver otro de los problemas míticos legados por la Grecia clásica: la duplicación del cubo. Por entonces, largamente pasados los 80 años, escribía: «O bien sólo yo estoy loco, o ellos (los profesores de matemáticas) han perdido por completo el juicio». «La refutación está de más -fue la respuesta lúcida de Wallis-, pues si él está loco, seguramente no atenderá a razones; por otra parte, si somos nosotros los locos, tampoco nos encontraremos en condiciones de intentar convencerle».
Sólo hacia el final de su vida, con 90 años cumplidos, Hobbes tratará de ser más amable con sus queridos enemigos los matemáticos. Por quitar hierro al conflicto escribió lo que sigue, juzgue el lector cómo tuvieron que estar las cosas en los momentos más febriles del combate si ésta era la fase conciliadora: «El señor Hobbes jamás ha intentado provocar a nadie; pero quien le provoque descubrirá que su pluma es al menos tan hiriente como la suya. Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundas flatulencias, hedores de mulo viejo excesivamente cinchado tras un hartazgo. Yo he cumplido. Os he tenido en consideración por esta vez, pero no lo repetiré».
Y todo, ¡ay!, por no saber matemáticas.
¡Eh, Superman, échame una mano con el trilero!
Las matemáticas no tienen por costumbre desaprovechar la información, aun cuando el sentido común parezca jurarnos que ésta es perfectamente inútil. Imaginemos la siguiente escena: me enfrento a un trilero, tipo tan hábil que revuelve sus tres cuencos con más rapidez de lo que mi vista puede asimilar. Uno de los tres tristes triles esconde una canica cuya localización es, para mí, cosa de puro azar. Elijo un cuenco, pero aún no lo levanto. Antes, miro un segundo de reojo a mi amigo. ¿No les había dicho? Soy colega de Superman.
Superman decide echarme una mano. Con su visión de rayos X examina los dos triles no elegidos y levanta uno vacío. Ahora me da la oportunidad de mantener mi elección o cambiar al único cuenco que queda sin tocar (recordemos: uno está bajo mi dedo y otro lo ha volteado Superman). El hombre de acero le propone al ventajista repetir esta jugada indefinidas veces: yo elegiré un cuenco, el de Kriptón retirará un cuenco vacío (sea cual sea mi elección siempre quedará alguno vacío para retirar), y tendré entonces la opción de mantener mi apuesta o cambiar al tercer cuenco en juego.
El trilero analiza así la situación: la primera elección, es obvio, tenía un tercio de probabilidades de ser ganadora, ahora bien, ¿cambió las cosas la intervención de Superman? Si yo decido no cambiar de cuenco, parece que no. Si cambio, se diría que ahora tengo una posibilidad entre dos de victoria, pues si levanto la mano de mi trile veo dos sobre la mesa y en alguno está la canica (claro que si levanto la mano para volver a bajarla sobre el mismo cuenco ¿no quedamos en que ése en concreto era el bueno con probabilidad uno de tres?) Vaya lío. Tranquilizamos al tahúr diciéndole que, si tras una serie de partidas la cosa es más o menos un empate (si gano tantas manos como pierdo), pagaremos diez euros por partida jugada. Sólo cobraremos si nuestro número de partidas ganadas es netamente superior al de perdidas. Cansado de calcular si nuestras probabilidades son de un tercio o de un medio, acepta, ya que ambos casos le favorecen.
«Por suerte, piensa, este Superman llegó siendo niño al planeta y no fue escolarizado en el avanzadísimo Kriptón». Lo que no sabe el trilero es que los matemáticos de la Tierra no lo hacen nada mal y que mi amigo y yo algo hemos aprendido de ellos. Ni una de cada tres, ni una de cada dos; si cambio de cuenco cada vez que Superman retira uno vacío, voy a ganar dos de cada tres partidas y luego a comerme unos percebes a costa del trilero. ¿Imposible? Veamos.
En mi primera elección, puro azar, dos de cada tres veces escogeré un cuenco vacío (perdedor), quedando en la mesa el otro cuenco vacío y el que esconde la canica. Como Superman siempre levanta un cuenco vacío, esas dos de cada tres veces dejará sobre la mesa el cuenco ganador. Tras su intervención no tengo más que cambiar siempre mi elección para (repito, dos de cada tres jugadas) garantizar mi triunfo.
¡Viva el fino razonamiento matemático! ¡Vivan los percebes!
De disputas intelectuales y trileros contra Superman
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